【題目】已知圓,點為平面內一動點,以線段為直徑的圓內切于圓,設動點的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ) 是曲線上的動點,且直線經(jīng)過定點,問在軸上是否存在定點,使得,若存在,請求出定點,若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) 存在定點.
【解析】試題分析:(1)由兩圓內切,圓心距等于半徑差,可知動圓圓心S到O與F的距離和為定值2,取關于軸的對稱點,由中位線可知,所以點的軌跡是以, 為焦點,長軸長為4的橢圓。(2)由得,得直線得與斜率和為零.設, ,直線的方程為得,代入韋達可求。
試題解析:(Ⅰ)設的中點為,切點為,連,則,取關于軸的對稱點,連,故.
所以點的軌跡是以, 為焦點,長軸長為4的橢圓.
其中, 曲線方程為.
(Ⅱ)假設存在滿足題意的定點,設設直線的方程為, .由消去,得
由直線過橢圓內一點作直線故,由求根公式得:
由得,得直線得與斜率和為零.故
存在定點,當斜率不存在時定點也符合題意.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2017年5月27日當今世界圍棋排名第一的柯潔在與的人機大戰(zhàn)中中盤棄子認輸,至此柯潔與的三場比賽全部結束,柯潔三戰(zhàn)全負,這次人機大戰(zhàn)再次引發(fā)全民對圍棋的關注,某學校社團為調查學生學習圍棋的情況,隨機抽取了100名學生進行調查,根據(jù)調查結果繪制的學生日均學習圍棋時間的頻率分布直方圖(如圖所示),將日均學習圍棋時間不低于40分鐘的學生稱為“圍棋迷”.
(1)請根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關?
非圍棋迷 | 圍棋迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計 |
(2)為了進一步了解“圍棋迷”的圍棋水平,從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取5名學生組隊參加校際交流賽,首輪該校需派兩名學生出賽,若從5名學生中隨機抽取2人出賽,求2人恰好一男一女的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《周髀算經(jīng)》 是我國古代的天文學和數(shù)學著作。其中一個問題的大意為:一年有二十四個節(jié)氣(如圖),每個節(jié)氣晷長損益相同(即物體在太陽的照射下影子長度的增加量和減少量相同).若冬至晷長一丈三尺五寸,夏至晷長一尺五寸(注:ー丈等于十尺,一尺等于十寸),則立冬節(jié)氣的晷長為( )
A. 九尺五寸 B. 一丈五寸 C. 一丈一尺五寸 D. 一丈六尺五寸
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,且,,三點中恰有兩點在拋物線上,另一點是拋物線的焦點.
(1)求證:、、三點共線;
(2)若直線過拋物線的焦點且與拋物線交于、兩點,點到軸的距離為,點到軸的距離為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,其中為常數(shù).
(1)當,且時,求函數(shù)的單調區(qū)間及極值;
(2)已知, ,若函數(shù)有2個零點, 有6個零點,試確定的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校在高二數(shù)學競賽初賽考試后,對90分以上(含90分)的成績進行統(tǒng)計,其頻率分布直方圖如圖所示,若分數(shù)段的學生人數(shù)為2.
(1)求該校成績在分數(shù)段的學生人數(shù);
(2)估計90分以上(含90分)的學生成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)(結果保留整數(shù)).
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