Question

當(dāng)x∈[-2，1]，求函數(shù)f（x）=-（

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）^x+4（

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2

）^x+5的值域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=（

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）^x，由x∈[-2，1]得：t∈[

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，4]，則y=f（x）=-（t-2）²+9，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，可得函數(shù)f（x）=-（

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4

）^x+4（

1

2

）^x+5的值域和單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：令t=（

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）^x，
由x∈[-2，1]得：t∈[

1

2

，4]，
則y=f（x）=-（

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4

）^x+4（

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2

）^x+5=-t²+4t+5=-（t-2）²+9，
當(dāng)t=2，即x=-1時(shí)，函數(shù)取最大值9，
當(dāng)t=4，即x=-2時(shí)，函數(shù)取最小值5，
故函數(shù)f（x）=-（

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4

）^x+4（

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2

）^x+5的值域是[5，9]，
又由t=（

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）^x為減函數(shù)，
y=-（t-2）²+9在t∈[

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2

，2]，即x∈[-1，1]上為減函數(shù)，
y=-（t-2）²+9在t∈[2，4]，即x∈[-2，-1]上為增函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，可得：
函數(shù)f（x）=-（

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4

）^x+4（

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）^x+5的單調(diào)增區(qū)間是[-1，1]，單調(diào)減區(qū)間是[-2，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的值域，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，是解答的關(guān)鍵．