Question

如圖所示，已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿(mǎn)足AM=2AP，NP⊥AM，點(diǎn)N的軌跡為曲線(xiàn)E．
（1）求曲線(xiàn)E的方程；
（2）若過(guò)定點(diǎn)F（0，2）的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿(mǎn)足FG=

1

2

FH，求直線(xiàn)l的方程；
（3）設(shè)曲線(xiàn)E的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于Q，S兩點(diǎn)，過(guò)F₂的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于R，T兩點(diǎn)，且QS⊥RT，垂足為W；
（ⅰ）設(shè)W（x₀，y₀），證明：

x 2 0

2

+

y

2 0

＜1；
（ⅱ）求四邊形QRST的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于AM=2AP且NP⊥AM即NP為AM的中垂線(xiàn)故聯(lián)想到連接NA即可觀(guān)察出NA+NC=CM=2

2

在根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的定義可寫(xiě)出曲線(xiàn)E的方程．
（2）設(shè)G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）根據(jù)FG=

1

2

FH可利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式（λ=

1

2

）找到點(diǎn)G，H的坐標(biāo)間的關(guān)系然后代入到曲線(xiàn)E的方程可求出點(diǎn)D或G再根據(jù)直線(xiàn)的斜率公式求出斜率后有點(diǎn)斜式直接寫(xiě)出直線(xiàn)方程．
（3）（i）由過(guò)F₁的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于Q，S兩點(diǎn)，過(guò)F₂的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于R，T兩點(diǎn)，且QS⊥RT可得出W在以F₁F₂為直徑的圓上且F₁F₂=2，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）可得出w滿(mǎn)足x₀²+y₀²=1再利用

x02

2

＜ x02進(jìn)行放縮即可得證．
     （ii）當(dāng)斜率不存在或斜率為0時(shí)易得面積S=

2

，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)為k則可得QS的方程為y=k（x+1）同時(shí)設(shè)Q（x₃，y₃），S（x₄，y₄）可令y=k（x+1）與

x2

2

+y2=1聯(lián)立可求出x₃+x₄，x₃x₄后可利用弦長(zhǎng)公式求出|QS|，再用-

1

k

代替|QS|中的k即得到|RT|即可得出四邊形QRST的面積的表達(dá)式然后利用均值不等求出最小值，再將此最小值與

2

比較大小即可求出面積的最小值．

解答：解：（1）∵NP為AM的中垂線(xiàn)
∴NA=NM
∴NA+NC=CM=2

2

∴N的軌跡為A，C為焦點(diǎn)的橢圓2a=2

2

∴a=

2

，c=1
∴b=1
∴方程為

x2

2

+y2=1
（2）當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，即G為FH中點(diǎn)時(shí)，設(shè)G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）
∴

x2=2x1 y2=2(y1-1)

，代入橢圓得y2=

5× 1 2 -3

4× 1 2

=-

1

4

，
∴x22=

15

8

∴x2=±

30

4

∴y=±

3 30

10

x+2
（3）（i）∵由過(guò)F₁的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于Q，S兩點(diǎn)，過(guò)F₂的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于R，T兩點(diǎn)，且QS⊥RT
∴W在以F₁F₂為直徑的圓上，F(xiàn)₁F₂=2
∴x₀²+y₀²=1
∴

x02

2

+y02＜x02+y02=1
（ii）設(shè)QS的方程為y=k（x+1）（當(dāng)k存在且不為0時(shí)）
 代入

x2

2

+y2=1
∴（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
 設(shè)Q（x₃，y₃），S（x₄，y₄）
∴x3+x4=

-4k2

1+2k2

，x3x4=

2k2-2

1+2k2

，
∴|QS|=

1+k2

|x3-x4|=2

2

1+k2

1+2k2

，
∵QS⊥RT
∴KRT=-

1

k

，同理，|RT|=2

2

•

k2+1

k2+2

∴S=

1

2

RT•QS=4•

(1+k2)2

(1+2k2)(k22)

≥4•

(1+k2)

( 1+2k2+k2+2 2 )2

=

16

9

（當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)，取等號(hào)）
當(dāng)k不存在或k=0時(shí)，S=

2

∵

16

9

＞

2

∴Smin=

2

點(diǎn)評(píng)：本題是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題的考查，是綜合題有一定的難度．主要考查了利用圓錐曲線(xiàn)的定義求曲線(xiàn)方程（第一問(wèn)），利用定比分點(diǎn)公式結(jié)合曲線(xiàn)方程求直線(xiàn)方程（第二問(wèn)），利用圓的定義證明不等式和利用直線(xiàn)和曲線(xiàn)連立以及弦長(zhǎng)公式求面積的最小值（第三問(wèn)）．同時(shí)題目中還涉及到了斜率存在與不存在的討論，這也是分類(lèi)討論思想在解題中的應(yīng)用的一個(gè)體現(xiàn)！