Question

18．已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，拋物線上一點(diǎn)（3，m）到焦點(diǎn)距離為4，過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在拋物線準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，其縱坐標(biāo)的取值范圍是[-2，2]，且$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=16$，點(diǎn)Q是以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線的一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出拋物線方程，利用拋物線上一點(diǎn)（3，m）到焦點(diǎn)距離為4，求出p，即可求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=ty+1，聯(lián)立拋物線消去x，利用韋達(dá)定理，結(jié)合$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=16$，確定2t的范圍，根據(jù)拋物線的定義可知，以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=2t$，即可求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0）…（1分）
由題意可得：$3+\frac{p}{2}=4$，∴p=2…（3分）
所求拋物線方程為y²=4x…（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=ty+1，
聯(lián)立拋物線消去x，得y²=4（ty+1），即y²-4ty-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，
所以${x_1}{x_2}=（t{y_1}+1）（t{y_2}+1）={t^2}{y_1}{y_2}+t（{y_1}+{y_2}）+1=1$，${x_1}+{x_2}=4{t^2}+2$…（7分）
由條件可設(shè)P的坐標(biāo)為（-1，a）（-2≤a≤2），
則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=${x_1}{x_2}+（{x_1}+{x_2}）+1+{y_1}{y_2}-a（{y_1}+{y_2}）+{a^2}$=1+4t²+2+1-4-4at+a²=4t²-4at+a²=（2t-a）²=16．
所以2t-4=a或2t+4=a，而-2≤a≤2，
所以2≤2t≤6或-6≤2t≤-2…（10分）
根據(jù)拋物線的定義可知，以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，
所以點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=2t$，
從而點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍是[-6，-2]∪[2，6]…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．