Question

【題目】已知函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的圖象如圖所示．給出下列四個(gè)命題：

①方程f[g(x)]＝0有且僅有6個(gè)根；②方程g[f(x)]＝0有且僅有3個(gè)根；

③方程f[f(x)]＝0有且僅有7個(gè)根；④方程g[g(x)]＝0有且僅有4個(gè)根．

其中正確命題的序號為________.

Answer 1

【答案】①④

【解析】①設(shè)t＝g(x)，則由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，則t1＝0或－2<t2<－1或1<t3<2.當(dāng)t1＝0時(shí)，g(x)＝0有2個(gè)不同根；當(dāng)－2<t2<－1時(shí)，g(x)＝t2有2個(gè)不同根；當(dāng)1<t3<2時(shí)，g(x)＝t3有2個(gè)不同根，∴方程f[g(x)]＝0有且僅有6個(gè)根，故①正確．

②設(shè)t＝f(x)，若g[f(x)]＝0，則g(t)＝0，則－2<t1<－1或0<t2<1.當(dāng)－2<t1<－1時(shí)，f(x)＝t1有1個(gè)根；當(dāng)0<t2<1時(shí)，f(x)＝t2有3個(gè)不同根，

∴方程g[f(x)]＝0有且僅有4個(gè)根，故②錯(cuò)誤．

③設(shè)t＝f(x)，若f[f(x)]＝0，則f(t)＝0，則t1＝0或－2<t2<－1或1<t3<2.當(dāng)t1＝0時(shí)，f(x)＝t1有3個(gè)不同根；當(dāng)－2<t2<－1時(shí)，f(x)＝t2有1個(gè)根；當(dāng)1<t3<2時(shí)，f(x)＝t3有1個(gè)根，∴方程f[f(x)]＝0有且僅有5個(gè)根，故③錯(cuò)誤．

④設(shè)t＝g(x)，若g[g(x)]＝0，則g(t)＝0，則－2<t1<－1或0<t2<1.當(dāng)－2<t1<－1時(shí)，g(x)＝t1有2個(gè)不同根；當(dāng)0<t2<1時(shí)，g(x)＝t2有2個(gè)不同根，∴方程g[g(x)]＝0有且僅有4個(gè)根，故④正確．

綜上，命題①④正確．