Question

6．某城市A計劃每天從蔬菜基地B處給本市供應(yīng)蔬菜，為此，準(zhǔn)備從主干道AD的C處（不在端點A、D處）做一條道路CB，主干道AD的長為60千米，設(shè)計路線如圖所示，測得蔬菜基地B在城市A的東偏北60^°處，AB長為60千米，設(shè)∠BCD=θ，運輸汽車在主干道AD上的平均車速為60千米/小時，在道路CB上的平均車速為20千米/小時．
（1）求運輸汽車從城市A到蔬菜基地B處所用的時間t關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式t（θ），并指出其定義域；
（2）求運輸汽車從城市A到蔬菜基地B處所用的時間t的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出BC，AC，可得運輸汽車從城市A到蔬菜基地B處所用的時間t關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式t（θ），并指出其定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求運輸汽車從城市A到蔬菜基地B處所用的時間t的最小值．

解答 解：（1）在△ABC中，$\frac{AB}{sin（π-θ）}=\frac{BC}{{sin\frac{π}{3}}}$，則$BC=\frac{{60•\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{sinθ}=\frac{{30\sqrt{3}}}{sinθ}$，…（2分）
又$\frac{AC}{{sin（θ-\frac{π}{3}）}}=\frac{AB}{sin（π-θ）}$，則$AC=\frac{{60sin（θ-\frac{π}{3}）}}{sinθ}$，…（4分）
所以，運輸汽車從城市A到蔬菜基地B處所用的時間t（θ）=$\frac{AC}{60}+\frac{BC}{20}=\frac{{\frac{{60sin（θ-\frac{π}{3}）}}{sinθ}}}{60}+\frac{{\frac{{30\sqrt{3}}}{sinθ}}}{20}$=$\frac{{sin（θ-\frac{π}{3}）}}{sinθ}+\frac{{3\sqrt{3}}}{2sinθ}$=$\frac{{sinθ-\sqrt{3}cosθ+3\sqrt{3}}}{2sinθ}$=$\frac{1}{2}+\frac{{3\sqrt{3}-\sqrt{3}cosθ}}{2sinθ}$，
其定義域為{θ|60^°＜θ＜120^°}．…（6分）
（2）$t'（θ）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{（3-cosθ）'sinθ-（3-cosθ）（sinθ）'}{{{{sin}^2}θ}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{1-3cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$，…（9分）
令t'（θ）=0，則$cosθ=\frac{1}{3}$，
當(dāng)$cosθ＞\frac{1}{3}$時，t'（θ）＞0；當(dāng)$cosθ＜\frac{1}{3}$時，t'（θ）＜0，…（12分）
所以，當(dāng)$cosθ=\frac{1}{3}$時，因為60^°≤θ≤120^°，所以$sinθ=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$時，t（θ）取得最小值，此時，最小值為$\frac{1}{2}+\sqrt{6}$．
答：運輸汽車從城市A到蔬菜基地B處所用的時間t的最小值為$\frac{1}{2}+\sqrt{6}$．…（14分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查正弦定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．