Question

16．已知f（x）=sinx-cosx．．
（Ⅰ）證明：sinx-f（x）≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$；
（Ⅱ）證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）≤e^ax-2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)g（x）=cosx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-1，則g'（x）=-sinx+x，x∈[0，+∞），再次構(gòu)造函數(shù)h（x）=-sinx+x，則h'（x）=-cosx+1≥0在x∈[0，+∞）時(shí)恒成立，可得g'（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，可得cosx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-1≥0，即可得證．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，不等式e^ax-x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-1≥0，對(duì)x∈[0，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)M（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1，令m（x）=e^x-x-1，則m'（x）=e^x-1，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，m'（x）≥0，可得恒成立，從而得證e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1≥0，當(dāng)a≥1時(shí)，不等式f（x）≤e^ax-2恒成立．

解答 證明：（Ⅰ）不等式sinx-f（x）≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$，
即不等式cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$．…（1分）
設(shè)g（x）=cosx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-1，則g′（x）=-sinx+x，x∈[0，+∞）．
再次構(gòu)造函數(shù)h（x）=-sinx+x，
則h′（x）=-cosx+1≥0在x∈[0，+∞）時(shí)恒成立，所以函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）≥h（0）=0，
所以g′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，所以函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以g（x）≥g（0）=0，
所以cosx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-1≥0，即sinx-f（x）≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析可知，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，sinx≤x且cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$，
所以f（x）=sinx-cosx=x-（1-$\frac{{x}^{2}}{2}$），
當(dāng)x-（1-$\frac{{x}^{2}}{2}$）≤e^ax-2，對(duì)x∈[0，+∞）恒成立時(shí)，不等式f（x）≤e^ax-2恒成立，
不等式x-（1-$\frac{{x}^{2}}{2}$）≤e^ax-2，即e^ax-x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-1≥0，對(duì)x∈[0，+∞）恒成立，
構(gòu)造函數(shù)M（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1，
則M'（x）=e^x-x-1，
令m（x）=e^x-x-1，
則m'（x）=e^x-1，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，m'（x）≥0，
故m（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以m（x）≥m（0）=0，故M'（x）≥0，即M（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以M（x）≥M（0）=0，
故e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1≥0恒成立，…（11分）
故當(dāng)a≥1時(shí)，e^ax-x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-1≥e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1≥0，
即當(dāng)a≥1時(shí)，不等式f（x）≤e^ax-2恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．