數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,前kn項(xiàng)和記為Skn(n,k∈N*),對(duì)給定的常數(shù)k,若
S(k+1)n
Skn
是與n無關(guān)的非零常數(shù)t=f(k),則稱該數(shù)列{an}是“k類和科比數(shù)列”.
(理科)(1)已知Sn=(
an+1
2
)2an>0
,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明(1)的數(shù)列{an}是一個(gè)“k類和科比數(shù)列”;
(3)設(shè)正數(shù)列{cn}是一個(gè)等比數(shù)列,首項(xiàng)c1,公比Q(Q≠1),若數(shù)列{lgcn}是一個(gè)“k類和科比數(shù)列”,探究c1與Q的關(guān)系.
分析:(1)由題設(shè)條件知an+1=
(an+1-1)2-(an-1)2
4
,化簡(jiǎn)整理2an+1+2an=an+12-an2,an+1-an=2,由此能求出求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)計(jì)算S(k+1)n=(k+1)2n2;Skn=k2n2;所以
S(k+1)n
Skn
=(
k+1
k
)2
與n無關(guān)的常數(shù),所以數(shù)列{an}是一個(gè)“k類和科比數(shù)列”.
(3)lgcn+1-lgcn=lg
cn+1
cn
=lgQ
是一個(gè)常數(shù),所以{lgcn}是一個(gè)等差數(shù)列,首項(xiàng)lgc1,公差lgQ.由此入手能夠推導(dǎo)出Q=c12
解答:解:(1)
Sn+1=
(an+1+1)2
4
Sn=
(an+1)2
4
作差得an+1=
(an+1+1)2-(an+1)2
4
(1分)
化簡(jiǎn)整理2an+1+2an=an+12-an2,∴an+1-an=2(2分)
所以{an}成等差數(shù)列(1分)
an=2n-1(1分)
(2)計(jì)算S(k+1)n=(k+1)2n2;Skn=k2n2;所以
S(k+1)n
Skn
=(
k+1
k
)2
與n無關(guān)的常數(shù)
所以數(shù)列{an}是一個(gè)“k類和科比數(shù)列”(4分)
(3)lgcn+1-lgcn=lg
cn+1
cn
=lgQ
是一個(gè)常數(shù),
所以{lgcn}是一個(gè)等差數(shù)列,首項(xiàng)lgc1,公差lgQ(1分)Sn=nlgc1+
n(n-1)
2
•lgQ
Skn=knlgc1+
kn(kn-1)
2
•lgQ
(1分)S(k+1)n=(k+1)nlgc1+
(k+1)n((k+1)n-1)
2
•lgQ
(1分)
S(k+1)n
Skn
=
(k+1)n•lgc1+
(k+1)n•((k+1)n-1)
2
•lgQ
kn•lgc1+
kn(kn-1)
2
•lgQ
=t
對(duì)一切n∈N*恒成立
化簡(jiǎn)整理[(k+1)2-k2t]•lgQ•n+[(k+1)-kt](2lgc1-lgQ)=0對(duì)一切n∈N*恒成立,
所以
(k+1)2-kt2=0
2lgc1-lgQ=0
(3分)∴Q=c12(1分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意理解新概念,避免不必要的錯(cuò)誤.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q≠1,Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和,Tn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積,Tn(k)表示{an}的前n項(xiàng)中除去第k項(xiàng)后剩余的n-1項(xiàng)的乘積,即Tn(k)=
Tn
ak
(n,k∈N+,k≤n),則數(shù)列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n項(xiàng)的和是
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
(用a1和q表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=
1
pn-q
,實(shí)數(shù)p,q滿足p>q>0且p>1,sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)求證:當(dāng)n≥2時(shí),pan<an-1
(2)求證sn
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)
;
(3)若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
,求證sn
2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,an>0,Sn=
a
2
n
+an
2
,n∈N*
(1)求證:{an}是等差數(shù)列;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1=2an+bn,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•商丘二模)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列{an}的各項(xiàng)按如下規(guī)律排列:
1
2
,
1
3
,
2
3
1
4
,
2
4
,
3
4
,
1
5
,
2
5
3
5
4
5
…,
1
n
,
2
n
,…,
n-1
n
,…有如下運(yùn)算和結(jié)論:
①a24=
3
8
;
②數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比數(shù)列;
③數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n項(xiàng)和為Tn=
n2+n
4

④若存在正整數(shù)k,使Sk<10,Sk+1≥10,則ak=
5
7

其中正確的結(jié)論是
①③④
①③④
.(將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列命題:
①若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1,則數(shù)列{an}為等比數(shù)列;
②在△ABC中,如果A=60°,a=
6
,b=4
,那么滿足條件的△ABC有兩解;
③設(shè)函數(shù)f(x)=x|x-a|+b,則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是a2+b2=0;
④設(shè)直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),則M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.
其中真命題的序號(hào)是

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同步練習(xí)冊(cè)答案