Question

某投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起了一座蔬菜加工廠，經(jīng)營(yíng)中，第一年支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元．設(shè)f（n）表示前n年的純利潤(rùn)總和，（f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額72萬元）．
（Ⅰ）該廠從第幾年開始盈利？
（Ⅱ）該廠第幾年年平均純利潤(rùn)達(dá)到最大？并求出年平均純利潤(rùn)的最大值．

Answer 1

分析：（ I）每年的支出構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，每年的收入是一個(gè)常數(shù)列，故根據(jù)f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額72萬元，可建立函數(shù)關(guān)系；
（II）求出年平均純利潤(rùn)

f(n)

n

=40-2(n+

36

n

)，再利用基本不等式，即可求得年平均純利潤(rùn)的最大值．

解答：解：（ I）依題意，根據(jù)f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額72萬元
可得f（n）=50n-[12n+

n(n-1)

2

×4]-72=-2n²+40n-72
由f（n）＞0，即-2n²+40n-72＞0
解得2＜n＜18
由于n∈N₊，故從第三年開始贏利．
（II）年平均純利潤(rùn)

f(n)

n

=40-2(n+

36

n

)
∵n+

36

n

≥12
∴40-2(n+

36

n

)≤16
∴

f(n)

n

≤ 16
當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)年平均純利潤(rùn)最大值為16萬元，
即第6年，投資商年平均純利潤(rùn)達(dá)到最大，年平均純利潤(rùn)最大值16萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式．