Question

某投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起一座蔬菜加工廠，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入為50萬元．設(shè)f（n）表示前n年的純利潤總和，g（n）表示前n年的總支出．[f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額]．
（1）寫出g（n）的關(guān)系式．
（2）寫出前n年的純利潤總和f（n）關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；并求該廠從第幾年開始盈利？
（3）若干年后，投資商為開發(fā)新項(xiàng)目，對該廠有兩種處理方案：①年平均純利潤達(dá)到最大時(shí)，以48萬元出售該廠；②純利潤總和達(dá)到最大時(shí)，以16萬元出售該廠，問哪種方案更合算？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，可知每年的支出構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，故n年的總支出函數(shù)關(guān)系可用數(shù)列的求和公式得到；
（2）根據(jù)f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額，可得前n年的純利潤總和f（n）關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；令f（n）＞0，并解不等式，即可求得該廠從第幾年開始盈利；
（3）對兩種決策進(jìn)行具體的比較，以數(shù)據(jù)來確定那一種方案較好．

解答：解：（1）由題意，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，可知每年的支出構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，
∴g(n)=12n+

n(n-1)

2

×4=2n2+10n（n∈N^*）…（2分）
（2）∵f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額
∴f（n）=50n-（2n²+10n）-72=-2n²+40n-72．…（3分）
由f（n）＞0，即-2n²+40n-72＞0，解得2＜n＜18．…（5分）
由n∈N^*知，從第三年開始盈利．…（6分）
（3）方案①：年平均純利潤為

f(n)

n

=40-2(n+

36

n

)≤16，
當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)等號成立．…（8分）
故方案①共獲利6×16+48=144（萬元），此時(shí)n=6．…（9分）
方案②：f（n）=-2（n-10）²+128．
當(dāng)n=10時(shí)，[f（n）]_max=128．
故方案②共獲利128+16=144（萬元）．…（11分）
比較兩種方案，獲利都是144萬元，但由于方案①只需6年，而方案②需10年，故選擇方案①更合算．…（12分）

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查解一元二次不等式，同時(shí)考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，屬于中檔題．