（本小題16分）設(shè)雙曲線：的焦點為F1,F2.離心率為2。

（1）求此雙曲線漸近線L1,L2的方程；

（2）若A,B分別為L1,L2上的動點，且2,求線段AB中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

 

【答案】

（1）由已知雙曲線的離心率為2得：解得a2=1,   ……2分

所以雙曲線的方程為，                    ……4分

所以漸近線L1,L2的方程為和＝0             ……6分

（2）c2＝a2＋b2＝4，得c＝2 ，所以，

又2所以=10                        ……8分

設(shè)A在L1上，B在L2上，設(shè)A（x1，，B(x2，－      

所以即    ……10分

設(shè)AB的中點M的坐標(biāo)為（x，y），則x＝，y＝

所以x1＋x2＝2x ， x1－x2＝2y 

所以整理得：                   ……14分

所以線段AB中點M的軌跡方程為：，軌跡是橢圓。    ……16分

【解析】

試題分析：（1）由已知雙曲線的離心率為2得：解得a2=1,   ……2分

所以雙曲線的方程為，                    ……4分

所以漸近線L1,L2的方程為和＝0             ……6分

（2）c2＝a2＋b2＝4，得c＝2 ，所以，

又2所以=10                        ……8分

設(shè)A在L1上，B在L2上，設(shè)A（x1，，B(x2，－      

所以即    ……10分

設(shè)AB的中點M的坐標(biāo)為（x，y），則x＝，y＝

所以x1＋x2＝2x ， x1－x2＝2y 

所以整理得：                   ……14分

所以線段AB中點M的軌跡方程為：，軌跡是橢圓。    ……16分

考點：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，軌跡方程的求法。

點評：點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題，本題利用相關(guān)點法求軌跡方程，相關(guān)點法 根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程．中檔題。

 

練習(xí)冊系列答案
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；

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為曲線W.

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(2)經(jīng)過點（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點P和Q，是否存在常數(shù)k，使得向量與向量共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由.

（3）設(shè)W的左右焦點分別為F1、 F2，點R在直線l：x－y＋8＝0上．當(dāng)∠F1RF2取最大值時，求的值.

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