Question

已知：①函數(shù)f₁（x）=x+

1

x

（x＞0）在（0，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞]上單調(diào)遞增；②函數(shù)f₂（x）=x+

4

x

（x＞0）在（0，2）上單調(diào)遞減，在[2，+∞）上單調(diào)遞增；③函數(shù)f₃（x）=x+

9

x

（x＞0）在（0，3）上單調(diào)遞減，在[3，+∞）上單調(diào)遞增；
現(xiàn)給出函數(shù)f（x）=x+

a2

x

（x＞0），其中a＞0．
（1）根據(jù)以上規(guī)律，寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不要求證明）
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）=x+

a2

x

≥4在區(qū)間[1，3]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用已知可得：函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；（a，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；（a，+∞）上單調(diào)遞增．可得：0＜a≤1．
（3）對(duì)a分類討論：a≤1，a≥4，1＜a＜4，利用已知函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；（a，+∞）上單調(diào)遞增的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）由已知可得：函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；（a，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴0＜a≤1．
（3）由已知可得：若a≤1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得：函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得最小值，∴f（1）=1+a²≥4，a＞0，解得a≥

3

，舍去；
若a≥4，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得：函數(shù)f（x）在x=3時(shí)取得最小值，∴f（3）=3+

a2

3

≥4，a＞0，解得a≥

3

，∴a≥4．
若1＜a＜4，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得：函數(shù)f（x）在x=a時(shí)取得最小值，∴f（a）=a+

a2

a

≥4，a＞0，解得2≤a＜4．
綜上可得：a的取值范圍是a≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)于“雙勾函數(shù)的單調(diào)性的研究”、基本不等式的性質(zhì)、類比推理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．