Question

求證：cosα•sinβ=

1

2

[sin（α+β）-sin（α-β）]．
    cosα•cosβ=

1

2

[cos（α+β）+cos（α-β）]
    sinα•sinβ=-

1

2

[cos（α+β）-cos（α-β）]
求證：sinθ-sinφ=2cos

θ+φ

2

sin

θ-φ

2

      cosθ+cosφ=2cos

θ+φ

2

cos

θ-φ

2

；
      cosθ-cosφ=-2sin

θ+φ

2

sin

θ-φ

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的和差化積公式,三角函數(shù)的積化和差公式

專題：證明題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）積化和差公式是由正弦或余弦的和角公式與差角公式通過(guò)加減運(yùn)算推導(dǎo)而得．
（2）有了（1）積化和差的公式以后，我們只需一個(gè)變形，就可以得到和差化積的公式．我們把上述公式中的α+β設(shè)為θ，α-β設(shè)為φ，那么α=

1

2

（θ+φ），β=

1

2

（θ-φ），把α，β分別用θ，φ表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式．

解答： 解：（1）①∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，
∴把兩式相減，得到：cosαsinβ=

1

2

[sin（α+β）-sin（α-β）]，
②∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，
∴把兩式相加，得到：cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，
∴所以，cosαcosβ=

1

2

[cos（α+β）+cos（α-β）]，
③∴同理，兩式相減，得到sinαsinβ=-

1

2

[cos（α+β）-cos（α-β）]；
（2）把上述公式中的α+β設(shè)為θ，α-β設(shè)為φ，那么α=

θ+φ

2

，β=

θ-φ

2

，把α，β分別用θ，φ表示就可以得到和差化積的公式：
①∵由（1）得cosαsinβ=

1

2

[sin（α+β）-sin（α-β）]，
∴cos

θ+φ

2

sin

θ-φ

2

=

1

2

[sinθ-sinφ]，
∴sinθ-sinφ=2cos

θ+φ

2

sin

θ-φ

2

，
②∵由（1）得cosαcosβ=

1

2

[cos（α+β）+cos（α-β）]，
∴cos

θ+φ

2

cos

θ-φ

2

=

1

2

[cosθ+cosφ]，
∴cosθ+cosφ=2cos

θ+φ

2

cos

θ-φ

2

，
③∵由（1）得sinαsinβ=-

1

2

[cos（α+β）-cos（α-β）]，
∴sin

θ+φ

2

sin

θ-φ

2

=-

1

2

[cosθ-cosφ]，
∴cosθ-cosφ=-2sin

θ+φ

2

sin

θ-φ

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的和差化積公式，三角函數(shù)的積化和差公式的證明，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基本知識(shí)的考查．