Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，其中a₁=3．若點(diǎn)（a_n，a_n+1²﹣2a_n+1）
（n∈N*）在函數(shù)y=f′（x）的圖象上，求證：點(diǎn)（n，S_n）也在y=f′（x）的圖象上；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（a﹣1，A）內(nèi)的極值．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：因?yàn)?IMG style="WIDTH: 102px; HEIGHT: 40px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120915/20120915213056439794.png">，所以f′（x）=x²+2x，
由點(diǎn)（a_n，a_n+1²﹣2a_n+1）（n∈N+）在函數(shù)y=f′（x）的圖象上，
又a_n＞0（n∈N+），所以（a_n﹣1﹣a_n）（a_n+1﹣a_n﹣2）=0，
所以，
又因?yàn)閒′（n）=n²+2n，所以S_n=f'（n），
故點(diǎn)（n，S_n）也在函數(shù)y=f′（x）的圖象上．
（Ⅱ）解：f'（x）=x²+2x=x（x+2），
由f'（x）=0，得x=0或x=﹣2．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）﹑f（x）的變化情況如下表：

注意到|（a﹣1）﹣a|=1＜2，
從而
①當(dāng)，此時(shí)f（x）無極小值；
②當(dāng)a﹣1＜0＜a，即0＜a＜1時(shí)，f（x）的極小值為f（0）=﹣2，此時(shí)f（x）無極大值；
③當(dāng)a≤﹣2或﹣1≤a≤0或a≥1時(shí)，f（x）既無極大值又無極小值．