Question

已知A、B、C是△ABC的三內(nèi)角，向量

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA，sinA），且

m

•

n

=1，

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求cosC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：利用數(shù)量積運(yùn)算和正弦函數(shù)的單調(diào)性可得A，利用倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的余弦公式即可得出．

解答： 解：由

m

•

n

=1，可得

3

sinA-cosA=1，即2sin(A-

π

6

)=1，
而A∈（0，π），∴(A-

π

6

)∈(-

π

6

，

5π

6

)，
∴A-

π

6

=

π

6

，A=

π

3

，
∵-3=

1+sin2B

cos2B-sin2B

=

(cosB+sinB)2

(cosB+sinB)(cosB-sinB)

=

cosB+sinB

cosB-sinB

=

1+tanB

1-tanB

，
∴tanB=2＞0，
∴B為銳角，∴cosB=

5

5

，sinB=

2 5

5

．
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

1

2

×

5

5

+

3

2

×

2 5

5

=

2 15 - 5

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、正弦函數(shù)的單調(diào)性、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的余弦公式、三角形的內(nèi)角和定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．