Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=

1

2

，且滿足a_n=

an+1

1-2an+1

．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=a_na_n+1，b_n的前n項和為S_n，求S_n的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_n=

an+1

1-2an+1

，得

1

an+1

-

1

an

=2，由此能證明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）由b_n=a_na_n+1=

1

2n(2n+2)

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項求和法能求出

1

8

≤Sn＜

1

4

．

解答： （Ⅰ）證明：由a_n=

an+1

1-2an+1

，
得a_n-2a_na_n+1=a_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=2，（2分）
∴數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列．（4分）
（Ⅱ）解：∵a1=

1

2

，∴

1

a1

=2，

1

an

=2+(n-1)×2=2n，
∴an=

1

2n

，（6分）
∴b_n=a_na_n+1=

1

2n(2n+2)

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Sn=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

，（9分）]
∵Sn=

1

4

(1-

1

n+1

)是遞增數(shù)列，∴（S_n）_min=S1=

1

8

，
∴

1

8

≤Sn＜

1

4

．（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．