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已知函數的定義域為,且滿足條件:①,②③當.

(1)求證:函數為偶函數;

(2)討論函數的單調性;

(3)求不等式的解集

 

【答案】

解:(1)在①中令x=y=1, 得f(1)= f(1)+ f(1) f(1)=0,

x=y=-1, 得f(1)= f(-1)+ f(-1) f(-1)=0,

再令y=-1, 得f(-x)= f(x)+ f(-1) f(x), ∴f(x)為偶函 數;

(2)在①中令

先討論上的單調性, 任取x1http://www.zxxk.com/x2,設x2>x1>0,

由③知:>0,∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(0,+∞)上是增函數,

∵偶函數圖象關于y軸對稱 ,∴f(x)在(-∞,0)上是減函數;[來源:Z+xx+k.Com]

(3)∵f[x(x-3)]= f(x)+ f(x-3)≤2, 由①②得2=1+1= f(2)+ f(2)= f(4)= f(-4),

1)若x(x-3)>0 , ∵f(x)在(0,+∞)上為增函數,

f[x(x-3)] ≤f(4) 得

2)若x(x-3)<0, ∵f(x)在(-∞,0)上為減函數;

f[x(x-3)] ≤f(-4)得 

∴原不等式的解集為:

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數的定義域為(0,+∞),且單調遞增,滿足f(4)=1,f(xy)=f(x)+f(y).
(Ⅰ)證明:f(1)=0;
(Ⅱ)若f(x)+f(x-3)≤1,求x的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數的定義域為R,對任意的x1,x2都滿足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),當x>0時,f(x)>0.
(I)試判斷并證明f(x)的奇偶性;
(II)試判斷并證明f(x)的單調性;
(III)若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0對所有的θ∈[0,
π2
]
均成立,求實數m 的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:2013-2014學年浙江省杭州市七校高三上學期期中聯考理科數學試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數的定義域為,

(1)求;

(2)若,且的真子集,求實數的取值范圍.

 

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科目:高中數學 來源:2014屆遼寧朝陽高二下學期期中考試理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題

已知函數的定義域為,部分對應值如下表。的導函數的圖像如圖所示。

0

下列關于函數的命題:

①函數上是減函數;②如果當時,最大值是,那么的最大值為;③函數個零點,則;④已知的一個單調遞減區(qū)間,則的最大值為。

其中真命題的個數是(           )

A、4個    B、3個  C、2個  D、1個

 

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科目:高中數學 來源:2010-2011學年海南省?谑懈呷呖颊{研考試理科數學 題型:選擇題

已知函數的定義域為,且的導函數,函數的圖象如圖所示.若正數,滿足,則的取值范圍是

    A.    B.  C.    D.

 

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