已知點(diǎn)G是△ABC的重心，A(0，－1)，B(0，1)，在x軸上有一點(diǎn)M，滿足，．

(1)求點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)若斜率為k的直線l與點(diǎn)C的軌跡交于不同兩點(diǎn)P、Q，且滿足，試求k的取值范圍．

答案：略
解析：

解題思路：(1)設(shè)C(x，y)，則重心G，

∵，∴GM∥AB．

又∵M是x軸上一點(diǎn)，則M，

又，∴，

整理得(x≠0)．

∴點(diǎn)C的軌跡方程為(x≠0)．

(2)①當(dāng)k=0時(shí)，l和橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P、Q(實(shí)軸端點(diǎn))，根據(jù)橢圓對(duì)稱性有；

②當(dāng)k≠0時(shí)，可設(shè)l的方程y=kx＋m(k≠0)，聯(lián)立方程組

消去y，整理得．

直線l和橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

則，即．

設(shè)PQ，則是方程

的兩根，

∴，．

則PQ中點(diǎn)N()的坐標(biāo)為

N．

又∵，∴，∴，

即，

∴，代入，

得(k≠0)．∴，

∴k(－1，0)∪(0，1)．

綜合①②，得k的取值范圍是(－1，1)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x軸上有一點(diǎn)M，滿足|
MA
|=|
MC
|，
GM
=λ
AB
(λ∈R)（若△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則該三角形的重心坐標(biāo)為G(
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
)）．
（1）求點(diǎn)C的軌跡E的方程．
（2）設(shè)（1）中曲線E的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F2的直線l交曲線E于P、Q兩點(diǎn)，求△F1PQ面積的最大值，并求出取最大值時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)G是△ABC的重心，
AG
=λ
AB
+μ
AC
(λ，μ∈R)，那么λ+μ=
 
；若∠A=120°，
AB
•
AC
=-2，則|
AG
|的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)G是△ABC的重心，點(diǎn)P是△GBC內(nèi)一點(diǎn)，若
AP
=λ
AB
+μ
AC
，則λ+μ的取值范圍是（　　）
A、(
1
2
，1)
B、(
2
3
，1)
C、(1，
3
2
)
D、（1，2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（文）已知奇函數(shù)f（x）滿足f（x+3）=f（x），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)f（x）=3x-1，則f(log
1
3
36)=
 

（理）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，O是空間任意一點(diǎn)，若
OA
+
OB
+
OC
=λ
OG
，則λ的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列六個(gè)命題：
①sin1＜3sin
1
3
＜5sin
1
5

②若f'（x0）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x0取得極值；
③“?x0∈R，使得ex0＜0”的否定是：“?x∈R，均有ex≥0”；
④已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，則
1
x
+
1
y
=3；
⑤已知a=
∫
π
0
sinxdx，點(diǎn)(
3
，a)到直線
3
x-y+1=0的距離為1；
⑥若|x+3|+|x-1|≤a2-3a，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a≤-1，或a≥4；
其中真命題是
①③④⑤
①③④⑤
（把你認(rèn)為真命題序號(hào)都填在橫線上）

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同步練習(xí)冊(cè)答案