Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=lg（x+m）（m∈R）；
（1）當(dāng)m=2時，解不等式 ；
（2）若f（0）=1，且 在閉區(qū)間[2，3]上有實數(shù)解，求實數(shù)λ的范圍；
（3）如果函數(shù)f（x）的圖像過點（98，2），且不等式f[cos（2nx）]＜lg2對任意n∈N均成立，求實數(shù)x的取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=lg（x+m）（m∈R）；

當(dāng)m=2時，f（x）=lg（x+2）

那么：不等式 ；即lg（ +2）＞lg10，

可得： ，且

解得： ．

∴不等式的解集為{x| }

（2）解：∵f（0）=1，可得m=10．

∴f（x）=lg（x+10）

，即lg（x+10）= 在閉區(qū)間[2，3]上有實數(shù)解，

可得λ=lg（x+10）﹣

令F（x）=lg（x+10）﹣ ，求在閉區(qū)間[2，3]上的值域．

根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的性質(zhì)可知：F（x）是增函數(shù)，

∴F（x）在閉區(qū)間[2，3]上的值域為[lg12﹣ ，lg13﹣ ]

故得實數(shù)λ的范圍是[lg12﹣ ，lg13﹣ ]

（3）解：∵函數(shù)f（x）的圖像過點（98，2），

則有：2=lg（98+m）

∴m=2．

故f（x）=lg（2+x）

那么：不等式f[cos（2nx）]＜lg2轉(zhuǎn)化為lg（2+cos（2nx））＜lg2

即 ，

∴ ，n∈N．

解得： ＜x＜ ，n∈N．

又∵2+x＞0，即x＞﹣2，

∴ ≥﹣2，n∈N．

解得：k ，

∵k∈Z，

∴k≥0．

故得任意n∈N均成立，實數(shù)x的取值集合為（ ， ），k∈N，n∈N．

【解析】（1）根據(jù)對數(shù)的運算解不等式即可．（2）根據(jù)f（0）=1，求f（x）的解析式，根據(jù) 在閉區(qū)間[2，3]上有實數(shù)解，分離λ，可得λ=lg（x+10）﹣ ，令F（x）=lg（x+10）﹣ ，求在閉區(qū)間[2，3]上的值域即為λ的范圍．（3）函數(shù)f（x）的圖像過點（98，2），求f（x）的解析式，可得f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2nx）]＜lg2轉(zhuǎn)化為lg（2+cos（2nx））＜lg2轉(zhuǎn)化為 ，求解x，又∵2+x＞0，即x＞﹣2和n∈N．討論k的范圍可得答案．