Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面積ABCD為矩形，PA⊥平向ABCD，E為PD的中點，AB=AP=1，AD=$\sqrt{3}$，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個法向量．

Answer 1

分析 以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出平面ACE的一個法向量．

解答 解：∵四棱錐P-ABCD中，底面積ABCD為矩形，
PA⊥平向ABCD，E為PD的中點，AB=AP=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），C（1，$\sqrt{3}$，0），
D（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=-$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，3）．
∴平面ACE的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，3）．

點評 本題考查平面的一個法向量的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間直角坐標(biāo)系的合理建立．