Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+2x+blnx在x=1和x=2時(shí)取得極值．（ln2≈0.7）
（1）求a、b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在x=1和x=2時(shí)取得極值，得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在這兩個(gè)點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)等于0，解關(guān)于a，b的方程，得到結(jié)果．
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，在所給的區(qū)間上寫(xiě)出各個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)的符合和各個(gè)點(diǎn)的值，比較兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)的值和極值，求得最值．

解答：解：定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=2ax+2+

b

x

（1）由

f′(1)=2a+2+b=0 f′(2)=4a+2+ b 2 =0

，解得a=-

1

3

，b=-

4

3

經(jīng)檢驗(yàn)a=-

1

3

，b=-

4

3

符合題意
（2）f′(x)=-

2

3

x+2-

4

3x

=

-2(x-1)(x-2)

3x

當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下

x	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，2）	2
f'（x）		-		+
f（x）	11 12 + 4 3 ln2	↘	5 3	↗	8 3 - 4 3 ln2

因?yàn)?span id="np3j26x" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

11

12

+

4

3

ln2=

11.1

6

，

8

3

-

4

3

ln2=

10.4

6

所以f(x)max=

11

12

+

4

3

ln2，f(x)min=

5

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值和最值，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用在某一點(diǎn)有極值點(diǎn)條件，它使得導(dǎo)函數(shù)在這里等于0．