Question

已知拋物線C：y²=mx（m≠0）的準(zhǔn)線與直線l：kx-y+2k=0（k≠0）的交點(diǎn)M在x軸上，l與C交于不同的兩點(diǎn)A、B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N（p，0）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（3）若C的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線為橢圓Q的一個焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線，試求Q的短軸的端點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）先求出M點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)準(zhǔn)線x=-2=-

m

4

，求出m的值，進(jìn)而求得拋物線方程；
（2）聯(lián)立拋物線和直線方程，由△＞0，求k²的范圍，進(jìn)而求出AB的中垂線方程，令y=0，求得關(guān)于p的關(guān)系式，從而求出范圍．
（3）首先求出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，分兩種情況（i）若F為左焦點(diǎn)，則c=x-2＞0，然后根據(jù)準(zhǔn)線方程和a²=b²+c²，求出結(jié)果．
（ii）若F為右焦點(diǎn)，則0＜x＜2，故c=2-x，b=|y|，然后根據(jù)準(zhǔn)線方程和a²=b²+c²，求出結(jié)果．

解答：解（1）因?yàn)辄c(diǎn)M在x軸上，令y=0代入l：kx-y+2k=0（k≠0），解得x=-2，
所以M（-2，0），所以拋物線C：y²=mx（m≠0）的準(zhǔn)線為x=-2=-

m

4

，所以m=8
所以拋物線C的方程為y²=8x．
（2）由

kx-y+2k=0 y2=8x

消去x得ky2-8y+16k=0（k≠0）△=64（1-k²）＞0∴0＜k²＜1
∴

y1+y2

2

=

4

k

，

x1+x2

2

=

2(2-k2)

k2

∴AB的中垂線方程為y-

4

k

=-

1

k

[x-

2(2-k2)

k2

]，令y=0得p=x=4+

2(2-k2)

k2

=

4

k2

+2∵
0＜k²＜1∴p∈（6，+∞）
（3）∵拋物線焦點(diǎn)F（2，0），準(zhǔn)線x=-2
∴x=-2是Q的左準(zhǔn)線
設(shè)Q的中心為O′（x，0），則短軸端點(diǎn)為（x，±y）
（i）若F為左焦點(diǎn)，則c=x-2＞0，b=|y|
∴a²=b²+c²=（x-2）²+y²
依左準(zhǔn)線方程有x-

a2

c

=-2∴x-

(x-2)2+y2

x-2

=-2即y²=4（x-2）（x＞2）
（ii）若F為右焦點(diǎn)，則0＜x＜2，故c=2-x，b=|y|
∴a²=b²+c²=（2-x）²+y²依左準(zhǔn)線方程有x-

a2

c

=-2
即∴x-

(2-x)2+y2

2-x

=-2化簡得2x²-4x+y²=0
即2（x-1）²+y²=2（0＜x＜2，y≠0）

點(diǎn)評：本題考查了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程和直線和圓錐曲線的綜合，綜合性強(qiáng)，（3）要注意分兩種情況，進(jìn)行作答，屬于中檔題．