Question

13．已知F（1，0）是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點．
（1）求p的值；
（2）點A，B是拋物線在第一象限內的兩個動點，線段AB的中點E在直線x=2上，其垂直平分線交x軸于點D．
①求點D的坐標；
②設l為平行于y軸的直線，若l被以AD為直徑的圓所截得的弦長為定值，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點坐標，可得p=2；
（2）①設線段AB的中點為E（2，m），D（d，0），運用中點坐標公式，以及直線的斜率公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，分別求出直線AB和DE的斜率，解方程即可求得d=4；
②設平行于y軸的直線l，方程為x=t，A（x₁，y₁），圓心為C（x₀，y₀），l被圓C截得的弦長為q，則由圓的幾何性質可得弦長公式，化簡整理，由此能求出直線l，其方程為x=3．

解答 解：（1）拋物線y²=2px的焦點為（$\frac{p}{2}$，0），
即有$\frac{p}{2}$=1解得p=2；
（2）拋物線y²=4x，
設線段AB的中點為E（2，m），D（d，0），
則y₁+y₂=2m，即m=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
由拋物線方程可得x₁=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，x₂=$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，
則MN的斜率為k_DE=$\frac{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}-0}{2-d}$，
直線AB的斜率為k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
由于DE⊥AB，則k_DE•k_AB=-1，
即有$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2（2-d）}$•$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-1，解得d=4．
則D（4，0）；
②設平行于y軸的直線l的方程為x=t，A（x₁，y₁），圓心為C（x₀，y₀），
l被圓C截得的弦長為q，
則由圓的幾何性質可得：q=2$\sqrt{（\frac{|AD|}{2}）^{2}-（{x}_{0}-t）^{2}}$
=2$\sqrt{\frac{（{x}_{1}-4）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}{4}-（\frac{{x}_{1}+4}{2}-t）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{-16{x}_{1}}{4}+{x}_{1}-{t}^{2}+t（{x}_{1}+4）}$
=2$\sqrt{（t-3）{x}_{1}+4t-{t}^{2}}$
當t=3時，q=2$\sqrt{3}$為定值．
故直線l的方程為x=3．

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線的斜率公式的運用，以及兩直線垂直的條件，中點坐標公式，以及直線和圓相交的弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．