Question

5．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)，若$f（{ln\frac{n}{m}}）$+$f（{ln\frac{m}{n}}）$-2f（1）＞0，則$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$的取值范圍是（　�。�

• A． （e，+∞）
• B． [2，e）
• C． $（{e+\frac{1}{e}，+∞}）$
• D． $[{2，e+\frac{1}{e}}）$

Answer 1

分析 先根據(jù)對數(shù)的運算性質和函數(shù)的奇偶性性化簡不等式，然后利用函數(shù)是偶函數(shù)得到不等式f（ln$\frac{m}{n}$）=f（-ln$\frac{n}{m}$），等價為|ln$\frac{n}{m}$|＜1f（|lnt|）≤f（1），然后利用函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上單調遞減即可得到不等式的解集從而求解．

解答 ：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（ln$\frac{m}{n}$）=f（-ln$\frac{n}{m}$）
∴$f（{ln\frac{n}{m}}）$+$f（{ln\frac{m}{n}}）$-2f（1）＞0可化為$f（{ln\frac{n}{m}}）$＞f（1），
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調遞減．
∴|ln$\frac{n}{m}$|＜1，
∴$\frac{1}{e}＜\frac{n}{m}＜e$，
又$\frac{{{m^2}+{n^2}}}{mn}$=$\frac{n}{m}+\frac{1}{\frac{n}{m}}$∈[2，e+$\frac{1}{e}$）
故選D．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的應用，利用函數(shù)是偶函數(shù)的性質得到f（a）=f（|a|）是解決偶函數(shù)問題的關鍵．先利用對數(shù)的性質將不等式進行化簡是解決本題的突破點