Question

【題目】如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2 ，AD= ，M為DC的中點(diǎn)．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求證：AD⊥BM；
（2）若點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)E在何位置時(shí)，二面角E﹣AM﹣D的余弦值為 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵長(zhǎng)方形ABCD中， ， ，M為DC的中點(diǎn)，

∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM平面ABCM，

∴BM⊥平面ADM，

∵AD平面ADM，∴AD⊥BM

（2）證明：以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸，OD為z軸，

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系

設(shè) ，則平面AMD的一個(gè)法向量 ，

=（1﹣λ，2λ，1﹣λ）， ，

設(shè)平面AME的一個(gè)法向量 ，

則 ，∴

取y=1，得x=0，y=1， ，∴ ，

∵ = ．∴得 或λ=﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)得 滿足題意．

∴E為BD的三等分點(diǎn)．

【解析】（1）推導(dǎo)出BM⊥AM，從而BM⊥平面ADM，由此能證明AD⊥BM．（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出E為BD的三等分點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，需要了解相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)才能得出正確答案．