Question

（14分）設(shè)函數(shù).

（1）當時，求的極值；

（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對任意及，恒有成立，求的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的極小值為，無極大值 .

（Ⅱ）當時，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.

當時，在單調(diào)遞減.

當時，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.

（Ⅲ） .

【解析】

試題分析：（1）將a=0代入函數(shù)解析式中可知，函數(shù)的導數(shù)，然后運用導數(shù)的符號與單調(diào)性的關(guān)系求解單調(diào)區(qū)間，并得到極值。

（2）當a>0時，利用導函數(shù)，對于參數(shù)a，進而分類討論研究其單調(diào)性，看開口和判別式得到。

(3)要證明不等式恒成立，只要利用第二問的結(jié)論根據(jù)最大值和最小值得到求解。

解：（Ⅰ）依題意，知的定義域為.

當時， ，.

令，解得.

當時，；當時， .

又，

所以的極小值為，無極大值 . …………………………（4分）

（Ⅱ）

當時，，

令，得或，

令，得；

當時，得，

令，得或，

令，得；

當時，.

綜上所述，當時，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.

當時，在單調(diào)遞減.

當時，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.

                                     …………………………………（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當時，在單調(diào)遞減.

當時，取最大值；當時，取最小值.

所以

.………………（11分）

因為恒成立，

所以，

整理得.

又 所以，

又因為 ，得，

所以

所以 . ……………………………………………………………（14分）

考點：本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

點評：解決該試題的關(guān)鍵是對于含有參數(shù)的導數(shù)的符號的確定，需要分類討論思想來得到。