Question

如圖所示，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A、B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的焦點(diǎn)F₂作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求△F₁PQ的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)知：2a=4，即a=2，將點(diǎn)代入橢圓方程得 ，解得b²=3，由此能得到橢圓方程．
（Ⅱ）由，知，所以PQ所在直線方程為，由得 ，設(shè)P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），由韋達(dá)定理能導(dǎo)出，由此能求出△F₁PQ的面積．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知：2a=4，即a=2
將點(diǎn)代入橢圓方程得 ，解得b²=3
∴c²=a²-b²=4-3=1，故橢圓方程為--------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，
∴PQ所在直線方程為---------------（5分）
由得 ---------------------------------（7分）
設(shè)P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），則--------（8分）
∴--------------------------（9分）
∴．-------------------------（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓C的方程和求△F₁PQ的面積．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．