(理)設(shè)f(x)是定義在D上的函數(shù),若對任何實數(shù)α∈(0,1)以及x1、x2∈D恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)成立,則稱f(x)為定義在D上的下凸函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)g(x)=2x(x∈R),k(x)=
1
x
 (x<0)
是否為各自定義域上的下凸函數(shù),并說明理由;
(2)若h(x)=px2(x∈R)是下凸函數(shù),求實數(shù)p的取值范圍;
(3)已知f(x)是R上的下凸函數(shù),m是給定的正整數(shù),設(shè)f(0)=0,f(m)=2m,記Sf=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(m),對于滿足條件的任意函數(shù)f(x),試求Sf的最大值.
(1)g(x)=2x是下凸函數(shù),證明如下:
對任意實數(shù)x1,x2及α∈(0,1),
有g(shù)(αx1+(1-α)x2)-αg(x1)-(1-α)g(x2)=2(αx1+(1-α)x2)-2αx1-2(1-α)x2=0.
即g(αx1+(1-α)x2)≤αg(x1)+(1-α)g(x2).
∴g(x)=2x是C函數(shù).
k(x)=
1
x
(x<0)
不是下凸函數(shù),證明如下:
取x1=-3,x2=-1,α=
1
2

則k(αx1+(1-α)x2)-αk(x1)-(1-α)k(x2)=k(-2)-
1
2
k(-3)-
1
2
k(-1)=-
1
2
+
1
6
+
1
2
>0

即k(αx1+(1-α)x2)>αk(x1)+(1-α)k(x2).
k(x)=
1
x
(x<0)
不是下凸函數(shù).
(2)h(x)=px2是下凸函數(shù),則對任意實數(shù)x1,x2及α∈(0,1),
有h(αx1+(1-α)x2)-αh(x1)-(1-α)h(x2)=p(αx1+(1-α)x22-pαx12-p(1-α)x22=p[-α(1-α)x12-α(1-α)x22+2α(1-α)x1x2]=-pα(1-α)(x1-x22≤0.
即當(dāng)p≥0時,h(αx1+(1-α)x2)≤αh(x1)+(1-α)h(x2).
∴當(dāng)p≥0時,h(x)=px2是下凸函數(shù).
(3)對任意0≤n≤m,取x1=m,x2=0,α=
n
m
∈[0,1]

∵f(x)是R上的下凸函數(shù),an=f(n),且a0=0,am=2m
∴an=f(n)=f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)=
n
m
×2m=2n

那么Sf=a1+a2+…+am≤2×(1+2+…+m)=m2+m.
可證f(x)=2x是C函數(shù),且使得an=2n(n=0,1,2,…,m)都成立,此時Sf=m2+m.
綜上所述,Sf的最大值為m2+m.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•嘉定區(qū)一模)(理)已知函數(shù)f(x)=log2
2
x
1-x
,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是f(x)圖象上兩點.
(1)若x1+x2=1,求證:y1+y2為定值;
(2)設(shè)Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*且n≥2,求Tn關(guān)于n的解析式;
(3)對(2)中的Tn,設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,當(dāng)n≥2時,an=4Tn+2,問是否存在角a,使不等式(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)
(1-
1
an
)<
sinα
2n+1
對一切n∈N*都成立?若存在,求出角α的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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(理)已知函數(shù),P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是f(x)圖象上兩點.
(1)若x1+x2=1,求證:y1+y2為定值;
(2)設(shè),其中n∈N*且n≥2,求Tn關(guān)于n的解析式;
(3)對(2)中的Tn,設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,當(dāng)n≥2時,an=4Tn+2,問是否存在角a,使不等式對一切n∈N*都成立?若存在,求出角α的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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