Question

某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣(mài)出144件．如果降低價(jià)格，銷(xiāo)售量可以增加，且每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x（單位：元，0≤x≤30）的平方成正比．已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣(mài)出8件．
（Ⅰ）將一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；
（Ⅱ）如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先設(shè)商品降價(jià)x元，寫(xiě)出多賣(mài)的商品數(shù)，則可計(jì)算出商品在一個(gè)星期的獲利數(shù)，再依題意“商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣(mài)出24件”，求出比例系數(shù)，即可得一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)．
（Ⅱ）根據(jù)（1）中得到的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其極值，從而求出f（x）達(dá)到極大值，從而得出定價(jià)為多少元時(shí)，能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)商品降價(jià)x元，則每個(gè)星期多賣(mài)的商品數(shù)為kx²，
若記商品在一個(gè)星期的獲利為f（x），
則依題意有f（x）=（30-x-9）（144+kx²）=（21-x）（144+kx²），
又由已知條件，8=k•2²，于是有k=2，
∴f（x）=-2x³+42x²-144x+3024，x∈[0，30]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

f^(x)=-6x2+84x-144=-6(x2-14x+24) =-6(x-2)(x-12)，x∈[0，30]

當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）與f（x）的變化如下表：…7分

x	[0，2）	2	2a2- 1 16 ＜0	12	（12，30]
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	極小	↗	極大	↘

…10 分
故x=12時(shí)，f（x）達(dá)到極大值．因?yàn)閒（0）=3024，f（12）=3888，
所以定價(jià)為30-12=18元能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大．…13 分

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)表達(dá)式的求法，考查商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．