Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)分別為a_n=1n（1+$\frac{1}{n}$），b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$（n∈N^*），證明：a_n＞b_n．

Answer 1

分析 令f（x）=ln（1+x）-x+x²，（0≤x≤1），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可證明．

解答 解：令f（x）=ln（1+x）-x+x²，（0≤x≤1），
則f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1+2x=$\frac{2{x}^{2}+x}{1+x}$≥0，
∴函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）≥f（0）=0，
∴l(xiāng)n（1+x）≥x-x²，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)．
令x=$\frac{1}{n}$（n∈N^*），
則$ln（1+\frac{1}{n}）$＞$\frac{1}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}$，∵a_n=1n（1+$\frac{1}{n}$），b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$（n∈N^*），
∴a_n＞b_n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．