Question

 

    已知函數f （x）=lnx，g（x）=e^x．

    （I）若函數φ （x） = f （x）－，求函數φ （x）的單調區(qū)間；

    （Ⅱ）設直線l為函數 y＝f （x） 的圖象上一點A（x₀，f （x₀））處的切線．證明：在區(qū)間（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g（x）相切．

    注：e為自然對數的底數．

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ） ，

． 2分

∵且，

∴

∴函數的單調遞增區(qū)間為．  4分

   （Ⅱ）∵ ，∴，

∴ 切線的方程為, http://www.7caiedu.cn/

     即, 　�、�     6分

設直線與曲線相切于點，

∵，∴，∴．   8分

     ∴直線也為，

即，  ②  9分

    由①②得 ，

∴． 11分

     下證：在區(qū)間（1，+）上存在且唯一．

由（Ⅰ）可知，在區(qū)間上遞增．

又，，  13分

    結合零點存在性定理，說明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一．                                             

    故結論成立．