Question

【題目】如圖，已知圓的半徑為，,是圓上的一個動點(diǎn)，的中垂線交于點(diǎn)，以直線為軸，的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系。

（Ⅰ）若點(diǎn)的軌跡為曲線，求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，過作圓的切線與曲線交于兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)中垂線性質(zhì)得出：，從而知點(diǎn)軌跡是橢圓，由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得．

（Ⅱ）當(dāng)切線斜率不存在時，可得兩圓，它們的交點(diǎn)為原點(diǎn)，接著證明其它的圓都過原點(diǎn)即可，即證，也即證，為此可設(shè)直線方程為，由直線與圓相切得關(guān)系式，設(shè)，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立化簡可得，計算可得結(jié)論．

（Ⅰ）因為是線段中垂線上的點(diǎn)，所以

所以：

所以：點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓

于是：，于是

所以：曲線的方程是

（Ⅱ）當(dāng)直線斜率不存在時，

取,則,此時圓的方程是

取，則，此時圓的方程是

兩圓相交于原點(diǎn)，下面證明原點(diǎn)滿足題目條件，即證：

當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為

因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，即①

由可得：

設(shè)，則

于是：

所以：

將①代入可得：

綜上所述：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)