Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）e^x定義域為[-2，t]（t＞-2），設(shè)f（-2）=m，f（t）=n。
（I）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（II）求證：n＞m；
（III）求證：對于任意的t＞-2，總存x₀∈（-2，t），滿足，并確定這樣的x₀的個數(shù)。

Answer 1

解：（I）因為f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0x＞1或x＜0，
由f′（x）＜00＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，
在（0，1）上單調(diào)遞減，
∵函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，
∴-2＜t≤0，
（II）證：因為函數(shù)f（x）在（-∞，0）∪（1，+∞）上單調(diào)遞增，
在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值e，
又f（-2）=13e^-2＜e，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（-2），
從而當t＞-2時，f（-2）＜f（t），即m＜n；
（III）證：因為，
∴，
即為x₀²-x₀=，
令g（x）=x²-x-，
從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）==0在（-2，t）上有解并討論解的個數(shù)，
因為g（-2）=6-（t-1）²=-，
g（t）=t（t-1）-=，
所以當t＞4或-2＜t＜1時，g（-2）g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
當1＜t＜4時，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解，
當t=1時，g（x）=x²-x=0，解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
當t=4時，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
綜上所述，對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足，
且當t≥4或-2＜t≤1時，有唯一的x₀適合題意，
當1＜t＜4時，有兩個x₀適合題意。