Question

已知函數(shù)，其中。。

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）；

（3）

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）根據(jù)是函數(shù)的極值點(diǎn)，得到在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為零得到參數(shù)a的值。

（2）函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，則利用導(dǎo)數(shù)恒小于等于2.5求解實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則利用導(dǎo)數(shù)來(lái)分析函數(shù)的單調(diào)性，得到極值與x軸的位置關(guān)系，得到結(jié)論。

解：

      ------------------2分

（1）且           ---------4分

（2）對(duì)任意的恒成立      -----------5分

對(duì)任意的恒成立   

 

而當(dāng)時(shí)，取最大值為1，

，且，        --------------------7分

（3），且

；或；

在和上遞增；而在上遞減。 ----8分

當(dāng)時(shí)

i），則在上遞增，在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)。-9分

ii），則在上遞減，而在上遞增。      

在上有極小值（也就是最小值）

而

    

時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)。---------------------12分

iii），則在上遞減，在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)。--13分

綜上所述：            -------------------14分