Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²-ax+a（x∈R），在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立． 若n∈N^*，f（n）是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{c_n}中，所有滿足c_k•c_k+1＜0的正整數(shù)k的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列{c_n}的變號(hào)數(shù)，令c_n=1-$\frac{4}{{a}_{n}}$，則數(shù)列{c_n}的變號(hào)數(shù)是3．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，可得△=0，解得a=0或a=4．當(dāng)a=0時(shí)，不滿足條件舍去．綜上，得a=4，f（x）=x²-4x+4，S_n=n²-4n+4，利用當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）由題設(shè)c_n=$\left\{\begin{array}{l}{-3，n=1}\\{1-\frac{4}{2n-5}，n≥2}\end{array}\right.$，當(dāng)n≥3時(shí)，c_n+1-c_n＞0，可得：當(dāng)n≥3時(shí)，數(shù)列列{c_n}遞增，分別求出c₁，c₂，c₃，c₄，c₅，即可得出變號(hào)數(shù)．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴△=a²-4a=0，解得a=0或a=4．
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=x²在（0，+∞）上遞增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
綜上，得a=4，f（x）=x²-4x+4，
∴S_n=n²-4n+4，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-5，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）由題設(shè)c_n=$\left\{\begin{array}{l}{-3，n=1}\\{1-\frac{4}{2n-5}，n≥2}\end{array}\right.$，
當(dāng)n≥3時(shí)，c_n+1-c_n=$\frac{4}{2n-5}$-$\frac{4}{2n-3}$=$\frac{8}{（2n-5）（2n-3）}$＞0，
∴當(dāng)n≥3時(shí)，數(shù)列列{c_n}遞增，c₄=-$\frac{1}{3}$＜0，
由$1-\frac{4}{2n-5}$＞0，解得n≥5．
可知a₄a₅＜0．
即n≥3時(shí)，有且只有1個(gè)變號(hào)數(shù)；
又c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，
即c₁c₂＜0，c₂c₃＜0，
∴此處變號(hào)數(shù)有2個(gè)．
綜上可得：數(shù)列{c_n}共有3個(gè)變號(hào)數(shù)，即變號(hào)數(shù)為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”、遞推關(guān)系的應(yīng)用、新定義“變號(hào)數(shù)”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．