Question

設α＞0，0＜β＜

π

2

，且α+β=

5π

6

，求函數(shù)y=2-sin²α-cos²β的值域．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用二倍角公式對函數(shù)解析式化簡，進而根據(jù)α和β的關系式，把函數(shù)解析式化簡成關于β的三角函數(shù)，根據(jù)β的范圍確定y的范圍．

解答： 解：y=2-

1-cos2α

2

-

1-cos2β

2

=1+

cos2α-cos2β

2

，
∵α+β=

5π

6

，
∴2α=

5π

3

-2β，
∴cos2α-cos2β=cos（

5π

3

-2β）-cos2β=cos

5π

3

cos2β+sin

5π

3

sin2β-cos2β=-sin（2β+

π

6

），
∴y=1-

1

2

sin（2β+

π

6

），
∵0＜β＜

π

2

，
∴

π

6

＜2β+

π

6

＜

7π

6

，
-

1

2

＜sin（2β+

π

6

）≤1，
∴

1

2

≤y＜

5

4

，
即函數(shù)的值域為[

1

2

，

5

4

）．

點評：本題主要考查了二倍角公式和兩角和與差的余弦函數(shù)公式的應用．注意了運用數(shù)形幾何思想結合三角函數(shù)圖象與性質的基礎知識．