精英家教網(wǎng)已知C為圓(x+
2
)2+y2=12的圓心，點(diǎn)A(
2
，0)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且
MQ
•
AP
=0，
AP
=2
AM
．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡E的方程．
（2）一直線l，原點(diǎn)到l的距離為
3
2
．（i）求證直線l與曲線E必有兩個(gè)交點(diǎn)．
（ii）若直線l與曲線E的兩個(gè)交點(diǎn)分別為G、H，求△OGH的面積的最大值．
分析：（1）由題設(shè)知，MQ⊥AP，QM是P的中垂線，|
QC
|+|
QA
|=|
QC
|+|
OP
|=|
CP
|=r=2
3
又|
AC
|=2
2
＜2
3
，
根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q軌跡是以C（-
2
，0），A（
2
，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2
3
的橢圓，由此可知點(diǎn)Q的軌跡方程．
（2）（i）當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，由題意知：l：x=±
3
2
，取x=
3
2
代入曲線E的方程得：y=±
3
2
，即G（
3
2
，
3
2
），H（
3
2
，-
3
2
）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，由此入手可知直線l必與橢圓E交于兩點(diǎn)
（ii）當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，CH=
3
S
 
△OGH
=
1
2
|GH|×
3
2
=
1
2
×
3
×
3
2
=
3
4
，當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)G（x1，y1），H（x2，y2），再由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件可求出△OGH的面積的最小值．
解答：解：（Ⅰ）圓(x+
2
)2+y2=12的圓心為C(-
2
，0)，半徑r=2
3

∵
MQ
•
AP
=0，
AP
=2
AM
，
∴MQ⊥AP，點(diǎn)M是AP的中點(diǎn)，即QM是P的中垂線，連接AQ，則|AQ|=|QP|
∴|
QC
|+|
QA
|=|
QC
|+|
OP
|=|
CP
|=r=2
3

又|
AC
|=2
2
＜2
3
，
根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q軌跡是以C（-
2
，0），A（
2
，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2
3
的橢圓，
由c=
2
，a=
3
，得b2=1，因此點(diǎn)Q的軌跡方程為
x2
3
+y2=1．

（Ⅱ）（1）證明：當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，由題意知：l：x=±
3
2
，
不妨取x=
3
2
代入曲線E的方程得：y=±
3
2

即G（
3
2
，
3
2
），H（
3
2
，-
3
2
）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+b
由題意知：
|b|
1+k2
=
3
2
，即b2=
3
4
(1+k2)
由
y=kx+b
x3
3
+y2=1
消y得：(2+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0
∵△=36k2b2-4（1+3k2）（3b2-3）=12（3k2-b2+1）=27k2+3＞0
∴直線l與橢圓E交于兩點(diǎn)，綜上，直線l必與橢圓E交于兩點(diǎn)

（2）由（1）知當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，CH=
3
S
 
△OGH
=
1
2
|GH|×
3
2
=
1
2
×
3
×
3
2
=
3
4

當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)G（x1，y1），H（x2，y2），
由（1）知x1+x2=
-6kb
1+3k2
，x1x2=
3b2-3
1+3k2
|GH|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2

=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=
(1+k2)[
36k2b2
(1+3k2)2
-
4(3b2-3)
1+3k2
]

=
27k4+30k2+3
(1+3k2)2

=
3+
12k2
9k2+6k2+1

=
3+
12
9k2+
1
k2
+6
≤
3+
12
2×3+6
=2(k≠0)

當(dāng)且僅當(dāng)9k2=
1
k2
，即k=±
3
3
，則取得“=”，
∴S△OGH=
1
2
×
3
2
|GH|≤
1
2
×
3
2
×2=
3
2

當(dāng)k=0時(shí)，|GH|=
3
，S△OGH=
3
4
．
綜上，△OGH的面積的最小值為
3
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的直線與圓錐問(wèn)題的綜合問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知P為圓x2+（y-1）2=1上任意一點(diǎn)，直線OP的傾斜角為θ弧度，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記d=|OP|，以（θ，d）為坐標(biāo)的點(diǎn)的軌跡為C，則曲線C與x軸圍成的封閉圖形的面積為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：
x=2+t
y=-2-t
（t為參數(shù)）與圓C：
x=2cosθ+1
y=2sinθ
（θ為參數(shù)），則直線l的傾斜角及圓心C的直角坐標(biāo)分別是（　�。�
A、
π
4
，(1，0)
B、
π
4
，(-1，0)
C、
3π
4
，(1，0)
D、
3π
4
，(-1，0)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(-1，0)，B(1，0)，C在圓(x-2)2+(y-2)2=1上運(yùn)動(dòng)，則△ABC面積的最小值為_(kāi)__________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：河北省期末題 題型：解答題

已知P為圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)，Q為點(diǎn)P在x軸上的射影，M為線段PQ的中點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)E（0，2）的直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上或圓外（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案