Question

若數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，但數(shù)列{a_n+a_n+1}不是等比數(shù)列，則公比q=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知寫(xiě)出a_n=a₁q^n-1，a_n+1=a₁qⁿ，進(jìn)一步得到a_n+a_n+1，a_n+1+a_n+2，作比后分類(lèi)討論得答案．

解答： 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，由題意知a_n=a₁q^n-1，a_n+1=a₁qⁿ，
a_n+a_n+1=a₁q^n-1+a₁qⁿ=a₁qⁿ（

1

q

+1），
a_n+1+a_n+2=a₁qⁿ+a₁qⁿ⁺¹=a₁qⁿ（1+q）
當(dāng)q=-1時(shí)，數(shù)列{a_n+a_n+1}為a_n=0的一個(gè)常數(shù)列，是一個(gè)等差數(shù)列
當(dāng)q≠-1時(shí)，

an+1+an+2

an+an+1

=

1 q +1

1+q

=

1

q

．
當(dāng)q≠1時(shí)，

1

q

是一個(gè)不為1的常數(shù)，所以數(shù)列{a_n+a_n+1}是等比數(shù)列；
當(dāng)q=1時(shí)，

1

q

=1，∴數(shù)列{a_n+a_n+1}是一個(gè)常數(shù)列，它既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．
綜上，滿(mǎn)足數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，但數(shù)列{a_n+a_n+1}不是等比數(shù)列的公比q=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬中檔題．