Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且點(diǎn)A（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線y=x+2上，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為{S_n}，且S_n=2b_n-2（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求b₁，b₂的值，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)c_n=b_nsin²

nπ

2

-a_ncos²

nπ

2

（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前8項(xiàng)和T₈．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）代入點(diǎn)A（a_n，a_n+1），由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得；
（Ⅱ）由條件先求首項(xiàng)，再令n=2，當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到；
（Ⅲ）由條件分別求出數(shù)列{c_n}的前8項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)，即可計(jì)算得到．

解答： 解：（Ⅰ）點(diǎn)A（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線y=x+2上，
∴a_n+1=a_n+2，
∴{a_n}是等差數(shù)列，公差d為2，首項(xiàng)a₁=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；                                   
（Ⅱ）由于S_n=2b_n-2（n∈N^*）
則當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=2b₁-2，解得b₁=2，
由S₂=b₁+b₂=2b₂-2，
得b₂=4，同理b₃=8，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，
∴b_n=2b_n-1（n≥2），
∴{b_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)b₁=2
∴b_n=2ⁿ；                                            
（Ⅲ）由于c_n=b_nsin²

nπ

2

-a_ncos²

nπ

2

（n∈N^*），
則c₁=b₁，c₂=-a₂，c₃=b₃，c₄=-a₄，c₅=b₅，c₆=-b₆，c₇=b₇，c₈=-a₈，
∴T₈=b₁+b₃+b₅+b₇-（a₂+a₄+a₆+a₈）
=2+2³+2⁵+2⁷-（3+7+11+15）=134．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，同時(shí)考查三角函數(shù)的求值，屬于中檔題和易錯(cuò)題．