Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，x＞0時，f（x）=

x+1

+1，則f（x）=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先令x＜0，則-x＞0，代入已知解析式，得到f（-x），再結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)，得到f（x）=-f（-x），即得x＜0時的解析式．

解答： 解：令x＜0，則-x＞0，由已知，得
f（-x）=

-x+1

+1，①
因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x），
所以由①得f（x）=-1-

1-x

，
x=0時，f（0）=0，
所以函數(shù)在定義域上的解析式為f（x）=

x+1 +1，x＞0 0，x=0 -1- 1-x ，x＜0

．
故答案為：

x+1 +1，x＞0 0，x=0 -1- 1-x ，x＜0

．

點評：本題考查了奇函數(shù)對稱區(qū)間的解析式求法，關(guān)鍵是在未知的區(qū)間上設(shè)出未知數(shù)，然后加符號轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，利用函數(shù)的奇偶性得到未知區(qū)間的解析式；對于奇函數(shù)在x=0處有意義，則f（0）=0．