已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足：a7=a6+2a5，若存在兩項am，an，使得
am•an
=4a1，則m（1+n）的最大值等于
12
12
．
分析：由條件求得q=2，再由
am•an
=4a1，求得m+n=6，再根據(jù) m（1+n）=（6-n）（1+n），利用二次函數(shù)的性質可得m（1+n）的最大值．
解答：解：設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，∵a7=a6+2a5，則a1•q6=a1•q5+2a1•q4，即q2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）．
∵
am•an
=4a1，故有a12×2m+n-2=16 a12，則m+n=6．
則m（1+n）=（6-n）（1+n），利用二次函數(shù)的性質可得，當n=3時，m（1+n）取得最大值為12，
故答案為 12．
點評：本題考查的知識點是等比數(shù)列的性質，基本不等式，其中得到m+n=6，m（1+n）=（6-n）（1+n），是解題的關鍵，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•重慶一模）設數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，其前n項和為Sn，已知對任意n∈N*，2
Sn
是an+2 和an的等比中項．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）證明
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜1；
（Ⅲ）設集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對滿足n＞m 的一切正整數(shù)n，不等式2Sn-4200＞
an2
2
恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個？

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科目：高中數(shù)學 來源：2011屆重慶市七區(qū)高三第一次調研測試數(shù)學理卷 題型：解答題

（本小題滿分1２分）
設數(shù)列的各項都為正數(shù)，其前項和為，已知對任意，是和的等比中項．
（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）證明；
（Ⅲ）設集合，，且，若存在∈，使對滿足的一切正整數(shù)，不等式恒成立，求這樣的正整數(shù)共有多少個？

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年重慶市七區(qū)高三第一次調研測試數(shù)學理卷 題型：解答題

（本小題滿分1２分）

設數(shù)列的各項都為正數(shù)，其前項和為，已知對任意，是 和的等比中項．

（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）證明；

（Ⅲ）設集合，，且，若存在∈，使對滿足 的一切正整數(shù)，不等式恒成立，求這樣的正整數(shù)共有多少個？

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列的各項都為正數(shù)，其前項和為，已知對任意，是 和的等比中項．

（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）證明；＜1

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年重慶市七區(qū)高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，其前n項和為Sn，已知對任意n∈N*，2是an+2 和an的等比中項．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）證明++…+＜1；
（Ⅲ）設集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對滿足n＞m 的一切正整數(shù)n，不等式2Sn-4200＞恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個？

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