Question

如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分別為AC、DC的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥BC；
（Ⅱ）求二面角E-BF-C的正弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì),二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）以B為坐標(biāo)原點，在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，得到E、F、B、C點的坐標(biāo)，易求得此

EF

•

BC

=0，所以EF⊥BC；
（Ⅱ）設(shè)平面BFC的一個法向量

n1

=（0，0，1），平面BEF的法向量

n2

=（x，y，z），依題意，可求得一個

n2

=（1，-

3

，1），設(shè)二面角E-BF-C的大小為θ，可求得sinθ的值．

解答： （Ⅰ）證明：由題意，以B為坐標(biāo)原點，在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，易得B（0，0，0），A（0，-1，

3

），D（

3

，-1，0），C（0，2，0），因而E（0，

1

2

，

3

2

），F(xiàn)（

3

2

，

1

2

，0），所以

EF

=（

3

2

，0，-

3

2

），

BC

=（0，2，0），因此

EF

•

BC

=0，所以EF⊥BC．
（Ⅱ）解：在圖中，設(shè)平面BFC的一個法向量

n1

=（0，0，1），平面BEF的法向量

n2

=（x，y，z），又

BF

=（

3

2

，

1

2

，0），

BE

=（0，

1

2

，

3

2

），
由

n2 • BF =0 n2 • BE =0

得其中一個

n2

=（1，-

3

，1），
設(shè)二面角E-BF-C的大小為θ，由題意知θ為銳角，則
cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

1

5

，
因此sinθ=

2

5

=

2 5

5

，即所求二面角正弦值為

2 5

5

．

點評：本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力，空間向量的坐標(biāo)運算，推理論證能力和運算求解能力．