Question

14．（7²⁰⁰⁴+36）⁸¹⁸的十位數字是2．

Answer 1

分析 根據7²⁰⁰⁴+36=49¹⁰⁰²+36 的展開式可得它的最后兩位數為37，問題轉化為求37⁸¹⁸的最后兩位數字．根據 37⁸¹⁸=1369⁴⁰⁹，故只需考查（70-1）⁴⁰⁹的最后兩位數字即可，再利用二項式定理可得69⁴⁰⁹=（70-1）⁴⁰⁹的最后兩位數字由68629來確定，可得（7²⁰⁰⁴+36）⁸¹⁸的最后兩位數字為29，從而得出結論．

解答 解：∵7²⁰⁰⁴+36=49¹⁰⁰²+36=（50-1）¹⁰⁰²+36=${C}_{1002}^{0}$•50¹⁰⁰²-${C}_{1002}^{1}$•50⁴⁹+…+${C}_{1002}^{1000}$•50²-${C}_{1002}^{1001}$•50+1+36，
故 7²⁰⁰⁴+36 的最后兩位數字為37，問題轉化為求37⁸¹⁸的最后兩位數字．
∵37⁸¹⁸=（37²）⁴⁰⁹=1369⁴⁰⁹，故只需考查69⁴⁰⁹=（70-1）⁴⁰⁹的最后兩位數字即可．
而（70-1）⁴⁰⁹=${C}_{409}^{0}$•70⁴⁰⁹-${C}_{409}^{1}$•70⁴⁰⁸+…+${C}_{409}^{408}$•70-1，
故69⁴⁰⁹=（70-1）⁴⁰⁹的最后兩位數字由 ${C}_{409}^{408}$•70-1=409×70-1=68629來確定，
故（7²⁰⁰⁴+36）⁸¹⁸的最后兩位數字為29，
故（7²⁰⁰⁴+36）⁸¹⁸的十位數字為2，
故答案為：2．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．