Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）3

【解析】

（1）分類討論，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；

（2）把對(duì)于任意，總存在，使得，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，則

由，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則，

由，令，即，解得或，

令，即，解得，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)單調(diào)區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，即，

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由對(duì)于任意，總存在，使得，

等價(jià)于，

由（1）得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，，

所以，所以；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，，

當(dāng)時(shí)，，則，得（舍去）；

當(dāng)時(shí)，，則，即，

其中，而，所以無(wú)解，舍去.

綜上所述，.