(1)求數(shù)列{bn}的通項bn;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項an=loga(1+)(其中a>0,且a≠1),
記Sn是數(shù)列{an}的前n項和.試比較Sn與logabn+1的大小,并證明你的結(jié)論.
①設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得
解得 ∴bn=3n-2?
②由Sn=3n-2知?
Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)
=loga[(1+1)(1+)(1+)…(1+)]logabn+1
=loga
因此要比較Sn與logabn+1的大小,可先比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小.
取n=1 有(1+1)>?
取n=2 有(1+1)(1+)>,?
……?
由此推測(1+1)(1+)……(1+)>①?
若①式成立,則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定:?
當(dāng)a>1時,Sn>logabn+1??
當(dāng)0<a<1時,Sn<logabn+1.?
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.?
(i)當(dāng)n=1時已驗證①式成立.?
(ii)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時,①式成立,?
即(1+1)(1+)……(1+)>.
那么,當(dāng)n=k+1時,
(1+1)(1+)……(1+)·(1+)>(1+)
=(3k+2)
∵ =
∴(3k+2)>=
因而(1+1)(1+)……(1+)(1+>
這就是說①式當(dāng)n=k+1時也成立.?
由(i)(ii)知,①式對任何自然數(shù)n都成立.由此證得:?
當(dāng)a>1時,Sn>logabn+1
當(dāng)0<a<1時,Sn<logabn+1
評述:該題是綜合題,主要考查等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基本知識,以及歸納猜想,等價轉(zhuǎn)化和代數(shù)式恒等變形的能力,相比之下,對能力的考查,遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于對知識的考查.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1 |
S1 |
1 |
S2 |
1 |
Sn |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
a | 2 n+1 |
a | 2 n |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
2 |
an+an+1 |
n |
n+1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:013
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A.等比數(shù)列, 但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列, 但不是等比數(shù)列
C.等比數(shù)列或等差數(shù)列 D.不是等比也不是等差數(shù)列
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