Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E、G分別是AB、BB₁、AC₁的中點(diǎn)，AB=BB₁=2．
（Ⅰ）在棱B₁C₁上是否存在點(diǎn)F使GF∥DE？如果存在，試確定它的位置；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值；
（Ⅲ）求B₁到截面DEG的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）一般找線(xiàn)段的端點(diǎn)或線(xiàn)段的中點(diǎn)，即點(diǎn)F存在且為B₁C₁的中點(diǎn)．
（II）建立平面直角坐標(biāo)系并且設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩個(gè)平面的法向量，再根據(jù)兩個(gè)向量的夾角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的夾角的余弦值，進(jìn)而得到兩個(gè)平面夾角的正弦值即可．
（III）先求出平面的法向量，再求出平面的任意一個(gè)斜線(xiàn)所在的向量在法向量上的射影即可．
解答：解：（Ⅰ）點(diǎn)F存在且為B₁C₁的中點(diǎn)，連接AB₁，
∵D，E，G分別是AB，BB₁，AC₁的中點(diǎn)，
∴DE∥AB₁∥GF．              
（Ⅱ）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別作為y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，；
∵D、E、G分別是AB、BB₁、AC₁的中點(diǎn)，
∴，，；
設(shè)平面DEG的法向量為，
由
得，解得x=0，y=-2z，
取z=1得；
又平面ABC的一個(gè)法向量為，
設(shè)截面DEG與底面ABC所成銳二面角為θ，
則，
∴，得tanθ=2．
故截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值為2．                     
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面DEG的一個(gè)法向量為，；
設(shè)點(diǎn)B₁到截面DEG的距離為d，
由向量的投影得，
故點(diǎn)B₁到截面DEG的距離為．
點(diǎn)評(píng)：夾角錯(cuò)了問(wèn)題的關(guān)鍵是建立正確的直角坐標(biāo)系，熟練的利用空間向量解決夾角與距離問(wèn)題，主要考查學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．