Question

已知函數(shù)f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線為l：

3x－y＋1＝0，若x＝時，y＝f(x)有極值．

(1)求a，b，c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

Answer 1

解析：(1)由f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，

得f′(x)＝3x²＋2ax＋b，

當(dāng)x＝1時，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0.①

當(dāng)x＝時，y＝f(x)有極值，

則f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②

由①②解得a＝2，b＝－4.

由于切點的橫坐標(biāo)為x＝1，∴f(1)＝4，

∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.

∴a＝2，b＝－4，c＝5.

(2)由(1)可得f(x)＝x³＋2x²－4x＋5，

∴f′(x)＝3x²＋4x－4，

令f′(x)＝0，得x₁＝－2，x₂＝.

當(dāng)x變化時，y、y′的取值及變化如下表：

x	－3	(－3，－2)	－2				1
y′		＋	0	－	0	＋
y	8	單調(diào)遞增↗	13	單調(diào)遞減↘		單調(diào)遞增↗	4