Question

19．三棱錐P-ABC中，AB=AC=2$\sqrt{10}$，BC=4，PC=點(diǎn)2$\sqrt{11}$，P在平面ABC內(nèi)的射影恰為△ABC的重心G（即△ABC三條中線的交點(diǎn)）．
（1）求證：BC⊥平面PAG；
（2）求二面角B-AP-G大小的正切值．

Answer 1

分析 （1）取BC中點(diǎn)D，連接AD、PD，由已知條件推導(dǎo)出PG⊥BC，AG⊥BC，由此能證明BC⊥平面PAG．
（2）以過(guò)G作BC的平行線為x軸，AG為y軸，GP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-AP-G大小的正切值．

解答 （1）證明：取BC中點(diǎn)D，連接AD、PD，
∵PG⊥平面ABC，∴PG⊥BC，
等腰△ABC中，G為重心，∴AG⊥BC，
∴BC⊥平面PAG．
（2）△ABC中，AD=6，∴GD=2，
∵BC⊥平面PAG，∴CD⊥PD，
∴PD=2$\sqrt{10}$，∴GP=6，
過(guò)G作BC的平行線為x軸，AG為y軸，GP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知B（2，2，0），C（-2，2，0），P（0，0，6），A（0，-4，0），
∴M（0，-2，3），
$\overrightarrow{AB}$=（2，6，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，4，6），
設(shè)平面APB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x+6y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=4y+6z=0}\end{array}\right.$，取x=9，得$\overrightarrow{n}$=（9，-3，2），
又平面APG的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)二面角B-AP-G的平面角為θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{9}{\sqrt{94}}$，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{13}}{9}$，
∴二面角B-AP-G大小的正切值為$\frac{\sqrt{13}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用，是中檔題．