Question

已知數(shù)列{a_n}中，對任意n∈N^*都有a_n+2=a_n+1-a_n，若該數(shù)列前63項(xiàng)和為4000，前125項(xiàng)和為1000，則該數(shù)列前2011項(xiàng)和為（ ）
A．0
B．1000
C．3000
D．5000

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)遞推公式a_n+2=a_n+1-a_n可知，此數(shù)列為周期為T=6的周期數(shù)列，并且每6項(xiàng)的和為0，再根據(jù)前63項(xiàng)的和，前125項(xiàng)的和，計(jì)算出a₁即可知前2011項(xiàng)的和．
解答：解：由題意知：
∵a_n+2=a_n+1-a_{n 令n=n+1得}
∴a_n+3=a_n+2-a_n+=a_n+1-a_n-a_n+1=-a_n
再令n=n+3得：a_n+6=-a_n+3=a_n 
所以 T=6
 又∵前6項(xiàng)分別為：a₁，a₂，a₂-a₁，-a₁，-a₂，a₁-a₂   
∴每6項(xiàng)和為0，即s₆=0
又∵s₆₃=a₁+a₂+a₃=2a₂=4000
∴a₂=2000
又∵s₁₂₅=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=a₂-a₁=1000
∴a₁=1000
又∵s₂₀₁₁=a₁
所以s₂₀₁₁=1000
故選B．
點(diǎn)評：本題必須根據(jù)遞推公式，先觀察出此數(shù)列為周期數(shù)列，求出a₁，然后才能求出s₂₀₁₁的和，對學(xué)生來說入手比較難．