Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x-2asinx+a-1，a∈R．
（1）當a=0時，求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；
（2）求f（x）在x∈[-

π

3

，

π

6

]上的最大值m（a）．

Answer 1

分析：（1）當a=0時求出f（x），利用公式可得周期，由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π得f（x）的增區(qū)間；
（2）設t=sinx，則t∈[-

3

2

，

1

2

]，則原函數(shù)可轉化為關于t的二次函數(shù)h（t）=-t²-2at+a，分對稱軸在區(qū)間[-

3

2

，

1

2

]的左側、內部、右側三種情況進行討論，結合圖象可得m（a）；

解答：解：（1）當a=0時，f(x)=cos2x-1=

1

2

(cos2x-1)．
易得周期T=π，
由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π得，kπ+

π

2

≤x≤kπ+π，k∈Z，
所以函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為[kπ+

π

2

，kπ+π](k∈Z)．    
（2）將函數(shù)f（x）=cos²x-2asinx+a-1變形為f（x）=-sin²x-2asinx+a，x∈[-

π

3

，

π

6

]．
設t=sinx，則t∈[-

3

2

，

1

2

]，即求函數(shù)h（t）=-t²-2at+a在t∈[-

3

2

，

1

2

]上的最大值m（a）．
①當-a≤-

3

2

時，h（t）在[-

3

2

，

1

2

]上單調遞減，∴m(a)=h(-

3

2

)=-

3

4

+(

3

+1)a．      
②當-a≥

1

2

時，h（t）在[-

3

2

，

1

2

]上單調增，∴m(a)=h(

1

2

)=-

1

4

；
③當-

3

2

＜-a＜

1

2

時，∴m（a）=a+a²．           
綜上所述，m(a)=

- 3 4 +( 3 +1)a，a≥ 3 2 - 1 4 ，  a≤- 1 2 a+a2，- 1 2 ＜a＜ 3 2 .

．

點評：本題考查復合函數(shù)的單調性、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，考查分類討論思想、數(shù)形結合思想，考查學生解決問題的能力．